אברהם בורג הוא הצעיר מבין שלושת ילדיו של מנהיג המפד"ל לשעבר, ד"ר יוסף בורג ז"ל, ורעייתו רבקה.
נולד בשנת 1955 בירושלים, גדל בשכונת רחביה, למד בבית-הספר הדתי "דוגמה" לבנים, והמשיך את לימודיו בישיבת "נתיב מאיר", הנחשבת לאחת הישיבות היוקרתיות של הציונות הדתית.
בורג נשוי ליעל ילידת צרפת, פסיכולוגית ומנהלת תיכון בירושלים.
הוא אב לשישה ילדים, שניים מהם בני משפחת פל -קרובי משפחתו של בורג- שהוריהם ואחיהם נהרגו בתאונת דרכים.
מתגורר ביישוב הקהילתי נטף שבהרי יהודה ונמנה על מייסדיו.