משה קצב נולד בשם משאללה ב-5 לדצמבר 1945, בביזד, איראן, לשמואל וגוהר. ב-1951 עלה לארץ יחד עם הוריו ואחותו שושנה בת השנה ושמו עוברת למשה.
משפחת קצב נשלחה למעברת שער העלייה בחיפה ומעברת האוהלים בקסטינה, ולבסוף השתקעה בקריית מלאכי. האב שמואל עבד בייעור בקרן הקיימת ובמפעל לחוטי פשתן. כילד למד קצב במעברה, ואחר כך נשלח לפנימיית בן שמן שם שהה שנתיים. משם המשיך לתיכון התיישבותי של מפא"י בבאר טוביה.