אברהם בורג נולד בשנת 1955 בירושלים. הוא הצעיר מבין שלושת ילדיו של מנהיג המפד"ל לשעבר, ד"ר יוסף בורג ז"ל (שנפטר באוקטובר 1999), ורעייתו רבקה.
בורג גדל בשכונת רחביה, ולמד בבית הספר הדתי לבנים, "דוגמה". הוא המשיך את לימודיו בישיבת "נתיב מאיר" בירושלים, הנחשבת לאחת הישיבות היוקרתיות של הציונות הדתית.