הבן האמצעי במשפחת בלייר, אנטוני צ'ארלס לינטון בלייר, נולד בשנת 1953 באדינבורו, סקוטלנד לליאו ולהייזל בלייר. משם עברה משפחתו לדורהאם, עיר תעשייתית בצפון אנגליה, שם בילה בלייר את ילדותו. אביו, היה עורך דין, מרצה ומדינאי. בנעוריו נסע לאוסטרליה, שם בילה שלוש שנים.
בשנת 1963 סבל ליאו בלייר משבץ בעיצומו של מסע הבחירות שלו לפרלמנט, ונותר ללא יכולת דיבור במשך שלוש שנים. מחלת אביו והחלמתו משיתוק היוו תפנית בחייו של בנו טוני, שהחליט להמשיך בדרכו של אביו. באופן אירוני, ליאו הצביע במשך שנים למפלגת השמרנים לפני שבנו החל לעסוק בפוליטיקה מטעם מפלגת הלייבור.