משפחתו של משה קצב עלתה לישראל כשהיה בן שש, והתיישבה בקרית מלאכי.
בזמן לימודי הכלכלה באוניברסיטת תל-אביב הצטרף קצב לליכוד. ב-1969 נבחר לראש מועצת קרית מלאכי, אך עזב את תפקידו לאחר תקופה קצרה. קצב חזר לכהן בתפקיד בשנים 1974-1981, וקבע שיא כראש המועצה הצעיר בישראל.
ב-1977 נבחר לכנסת מטעם הליכוד. ב-1981 מונה לסגן שר הבינוי והשיכון, ב-1984 מונה לשר העבודה והרווחה וב-1988 לשר התחבורה. בשנים 1996-1999 כיהן כשר התיירות.
ביולי 2000 גבר קצב על שמעון פרס בהתמודדות על כהונת נשיא המדינה, ובאוגוסט מונה לתפקיד.
קצב נשוי לגילה ואב לחמישה.