אברהם בורג הוא בנו של מנהיג המפד"ל לשעבר, ד"ר יוסף בורג.
בורג שירת כקצין בחטיבת הצנחנים. הוא למד בישיבת "נתיב מאיר" בירושלים, בחוג למדעי החברה באוניברסיטה העברית, ובמחלקה לעיצוב תעשייתי בבצלאל.
עבד כמרצה ללימודי יהדות וכמורה דרך.
ב-1985 מונה בורג ליועצו של שמעון פרס. ב-1988 נבחר לכנסת מטעם מפלגת העבודה.
בשנים 1995-1999 כיהן כיו"ר הסוכנות היהודית.
ב-1999 נבחר ליו"ר הכנסת.
נשוי ואב לשישה ילדים.